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高一数学总结等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题。历年高考，等价转化思想无处不见，我们要不断培养和训练自觉的转化意识，将有利于强化解决数学问题中的应变能力，提高思维能力和技能、技巧。转化有等价转化与非等价转化。等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，才保证转化后的结果仍为原问题的结果。它能给人带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口。我们在应用时一定要注意转化的等价性与非等价性的不同要求，实施等价转化时确保其等价性，保证逻辑上的正确。数学的解题过程，就是从未知向已知、从复杂到简单的化归转换过程。等价转化思想方法的特点是具有灵活性和多样性。在数学操作中实施等价转化时，我们要遵循熟悉化、简单化、直观化、标准化的原则.例1.设x、y∈R且3x +2y =6x，求x +y 的范围。【分析】 设k=x +y ，再代入消去y，转化为关于x的方程有实数解时求参数k范围的问题。其中要注意隐含条件，即x的范围。【解】由6x-3x =2y ≥0得0≤x≤2。设k=x +y ，则y =k-x ，代入已知等式得：x -6x+2k=0 ，即k=- x +3x，其对称轴为x=3。由0≤x≤2得k∈[0,4]。所以x +y 的范围是：0≤x +y ≤4。【另解】 数形结合法（转化为解析几何问题）：由3x +2y =6x得（x-1） + =1，即表示椭圆，其一个顶点在坐标原点。x +y 的范围就是椭圆上的点到坐标原点的距离的平方。由图可知最小值是0，距离最大的点是以原点为圆心的圆与椭圆相切的切点。设圆方程为x +y =k，代入椭圆中消y得x -6x+2k=0。由判别式△=36-8k=0得k=4，所以x +y 的范围是：0≤x +y ≤4。【注】本题运用多种方法进行解答，实现了多种角度的转化，联系了多个知识点，有助于提高发散思维能力。此题还可以利用均值换元法进行解答。各种方法的运用，分别将代数问题转化为了其它问题，属于问题转换题型。例3. 求值： -4cos10° 【分析】分析所求值的式子，估计两条途径：一是将函数名化为相同，二是将非特殊角化为特殊角。【解】 -4cos10°= -4cos10°= = = = = = = （基本过程：切化弦→通分→化同名→拆项→差化积→化同名→差化积） 【注】无条件三角求值问题，是高考中常见题型，其变换过程是等价转化思想的体现。此种题型属于三角变换型。一般对，对于三角恒等变换，需要灵活运用的是同角三角函数的关系式、诱导公式、和差角公式、倍半角公式、和积互化公式以及万能公式，常用的手段是：切割化弦、拆角、将次与升次、和积互化、异名化同名、异角化同角、化特殊角等等。对此，我们要掌握变换的通法，活用公式，攻克三角恒等变形的每一道难关。例3. 已知f(x)=tgx,x∈（0， ），若x 、x ∈（0， ）且x ≠x ，求证： [f(x )+f(x )]>f（ ) 【分析】从问题着手进行思考，运用分析法，一步步探求问题成立的充分条件。【证明】 [f(x )+f(x )]>f( ) [tgx +tgx ]>tg ( + )>>1+cos(x +x )>2cosx cosx 1+cosx cosx +sinx sinx >2cosx cosx cosx cosx +sinx sinx
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