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论文摘要：本文以递归的方法解决历史上著名的德•梅齐里克砝码问题，并加以推广阐述了一种特殊的进制数方式，对此问题作出了一个普遍解：任意给定一个自然数，能够以最少的个数的项保证其和为给定数而又能遍历1到此数间的任意整数。 关键词 ：进制数 ，遍历，基底，状态值； 一. 问题介绍 一位商人有一个40磅重的砝码，由于跌落在地而碎成4块，后来称得每块碎片的重量都是整磅数，而且可以用这4块来称从1至40磅之间的任意整磅数的重物，问这4块砝码碎片各是多少。
摘自《100个著名初等数学问题》 二. 问题解决 考虑这样一个用法码称重物的问题，实际上是通过在天平两端放不同砝码使各砝码值相加减得到目的值。 用递归的方法能很好的解决： 设前i块碎片的总质量为 ，由这 块能够称出1~ 之间所有整磅数，那么第 +1块碎片则为2 +1，。它依次减去前 块得到的各个磅数就能得到（ +1）~(2 +1)，它依次加上前 块得到的各个磅数就能得到（2 + 2）~(3 +1) 2 +1 — = +1 2 +1 + = 3 +1 2 +1 — （ —1） = +2 2 +1 + （ —1） = 3 2 +1 — （ —2） = +3 2 +1 + （ —2） = 3 —1 … … … … … … 2 +1 — 1 = 2 2 +1 + 1 = 2 + 2 2 +1自己当然能够称出来； 所以由这 +1块碎片能称出1~(3 +1)所有的整质量。
设第 块碎片重为 ，则有： =2 + 1; =2 1 +1； 两式相减得 =3 ; =1，故各碎片的磅数分别为1,3,9,27.满足和为40的要求。
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