[初三数学函数所有的公式]第八章 函数及其图象 ★重点★正、反比例函数,一次、二次函数的图象和性质。 ☆ 内容提要☆ 一、平面直角坐标系 1.各象限内点的坐标的特点 2.坐标轴上点的坐标的特点 3.关于...+阅读
1,
正比例函数:y=kx =>; 一次函数:y=kx+b
(k为斜率,b为截距)图像为直线,在k相同的情况下,根据b的值的不同图像上下平移。
在b相同,k不同的情况下图像进行旋转。
2,
表达式为 y=k/x(k为常数且k≠0) 的函数,叫做反比例函数。
反比例函数的其他形式:y=k/x=k·1/x=kx-1
反比例函数的特点:y=k/x→xy=k
自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。
反比例函数图像性质:
反比例函数的图像为双曲线。
反比例函数关于原点中心对称,关于坐标轴角平分线轴对称,另外,从反比例函数的解析式可以得出,在反比例函数的图像上任取一点,向两个坐标轴作垂线,这点、两个垂足及原点所围成的矩形面积是定值,为∣k∣,即k的绝对值。
3
一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系:
y=ax^2+bx+c
(a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,a>0时,开口方向向上,a<0时,开口方向向下。IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大。)
则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
x是自变量,y是x的函数
二次函数的三种表达式
一般式:y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
顶点式:y=a(x-h)^2+k [抛物线的顶点P(h,k)] 对于二次函数y=ax^2+bx+c 其顶点坐标为 (-b/2a,(4ac-b^2)/4a)
交点式:y=a(x-x??)(x-x ??) [仅限于与x轴有交点A(x?? ,0)和 B(x??,0)的抛物线]
其中x1,2= -b±√b^2-4ac
注:在3种形式的互相转化中,有如下关系:
______
h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a x??,x??=(-b±√b^2-4ac)/2a
二次函数的图像
在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像,
可以看出,二次函数的图像是一条抛物线。
抛物线的性质
1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x = -b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)
2.抛物线有一个顶点P,坐标为P ( -b/2a ,(4ac-b^2)/4a )
当-b/2a=0时,P在y轴上;当Δ= b^2-4ac=0时,P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a>0时,抛物线向上开口;当a|a|越大,则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;
当a与b异号时(即ab5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于(0,c)
6.抛物线与x轴交点个数
Δ= b^2-4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点。
Δ= b^2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点。
_______
Δ= b^2-4ac当a>0时,函数在x= -b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b^2/4a;在{x|x<-b/2a}上是减函数,在{x|x>-b/2a}上是增函数;抛物线的开口向上;函数的值域是{x|x≥4ac-b^2/4a}相反不变
当b=0时,抛物线的对称轴是y轴,这时,函数是偶函数,解析式变形为y=ax^2+c(a≠0)
二次函数与一元二次方程
特别地,二次函数(以下称函数)y=ax^2+bx+c,
当y=0时,二次函数为关于x的一元二次方程(以下称方程),
即ax^2+bx+c=0
此时,函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。
函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
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