对于第一个问题：
劳动合同法第四十条规定了三种情形下，用人单位提前三十日或额外支付劳动这一个月的工资可以解除劳动合同。这并不是说用人单位可以随便事由额外支付一个月工资就可以解除劳动合同的。否则用人单位属于违法解除劳动合同，许支付双倍的赔偿金。
对于第二个问题：
劳动合同法第十四条规定，连续订立二次规定期限劳动合同，，且劳动者没有底三十九条和第四十条第一二项之情形，用人单位应与劳动者签订无规定期限。但注意劳动合同法附则第第九十七条规定，连续订立固定期限劳动合同的次数，自本法施行后续订固定期限劳动合同时开始计算。具体到您的情况不属于第十四条规定，可以不与您签订无固定期限劳动合同，但若满足十四条其它情形仍可以要求签订无固定期限劳动合同的。另外劳动合同法规定，用人单位必须自用工之日起于劳动者签订书面劳动合同，具体到您的情况，也就是说必须在4月30日之前与您签订书面劳动合同。您可以主张从五月到现在的双倍工资。
关于第三个问题：
如果您是行使您的劳动者解除与用人单位的劳动合同的自由权，即劳动合同法第三十七条之规定，必须用书面形式，否则属于您的过失，违法解除，用人单位可以要求赔偿的。
另外，如果您提到的三个问题都是同意单位发生的，则您可以要求用人单位与您签订书面劳动合同，办理社保等，用人单位拒绝的，则您可以解除劳动合同。您可以行使您的解除权的，这与您的自由解除权有所区别。
希望我的回答能令您满意
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