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急!急!请教一道函数恒成立问题!

更新:02-17 整理:39baobao.com
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f(-1)=m+2(m+1)+2=3m+4

f(1)=m-2(m+1)+2=-m

函数f(x)在[-1,1]恒成立,必须满足f(-1)·f(1)>0,即

-m(3m+4)>0

得出-4/3

所以m的取值范围是(-4/3,0)

关键就是f(-1)·f(1)>0,也就是说,只要f(-1)和f(1)的值的符号一致,同为正或同为负

这里与抛物线的开口方向没有关系,但可以详细分析下:

当m>0时,开口向上,要使得在[-1,1]区间内恒成立,①抛物线可以在x轴上方,这样保证定义域内的所有值都能成立而不仅仅是[-1,1]区间内;②抛物线与x轴有交点,且整体在-1左方或者在-右方,也就是说抛物线不能穿过[-1,1]区间,这种情况保证f(-1)·f(1)>0

当m<0时,开口向下,要使得在[-1,1]区间内恒成立,抛物线必须与x轴有两个交点,且左边交点在-1左边,右边交点在1右边,也就是说抛物线不能穿过[-1,1]区间,这种情况同样保证f(-1)·f(1)>0

综上即可得出,只需要保证f(-1)·f(1)>0即可,而无须判断m的正负

不好意思,在分析的那一段把“1”错写成“-”了,应该是“②抛物线与x轴有交点,且整体在-1左方或者在1右方,也就是说抛物线不能穿过[-1,1]区间,这种情况保证f(-1)·f(1)>0”

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