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前两天国内的表姐在我们家的亲戚群里发了张女儿数学作业的照片，19+23，她算成了82，表姐检查作业时说这道错了，女儿一脸茫然，“是不是哦，我再验算一下”。表姐有点不解，这不明摆着的吗？19加23，十位的1和2加起来5都不到，怎么会是80多呢？说是要重新算，但这个结果是对是错应该一眼就能看出来啊。想想女儿平时做运算练习也不少，但好像对数字的感觉还是不到位，这让表姐很郁闷。
恰好最近我读了不少有关孩子数学启蒙的书籍，我很肯定的告诉表姐，这是因为我侄女的“数感”没有培养起来，她可能掌握了运算规则，但对数字大小，数量多少缺乏感觉，所以不能对运算结果有个大概估算。
那究竟什么是“数感”呢？
数感在英文里叫number sense, 就是对数字的感觉，指的是一个人对数字的理解和运用能力，包括能否灵活处理数字、拆解问题，并从不同的角度看问题。比如桌子上有一个空盒，还有一堆糖，有些人看到会有意识地对两者进行比较，考虑如果把这堆糖装在盒子里能不能装下，能不能装满，这就是数感在起作用；再比如在计算18*5时，数感好的人并不是在脑海里用竖式计算，而是能迅速把它换成更利于自己计算的20*5 – 2*5，或者9*10，再或者9*5 + 9*5等方式，并能在脑海里对应出它的实际意义，就像下图的几个矩形图示一样：
我们再来听听一位大牛怎么说数感的：
Jo Boaler是斯坦福大学数学教育学教授，出版过好几本关于数学教育的书，其中《教室里的大象》被许多数学老师奉为经典，她开创和领导的数学教育网站Youcubed，为全世界教师和父母提供了很多数学启蒙资源。
回忆起自己的成长经历，Jo Boaler说在她小时候，学校没有要求孩子们记忆多少以内的加减法得数，甚至也不要求乘法口诀，但这一点儿都没有妨碍她后来在数学上的发展，还成为大学数学教授，她说，“看到8+4，我能一口给出答案，那是因为我有很好的数感。而这种感觉是通过在各种情况下使用、理解数字而得到的，而不是通过强化练习和考试才记住的。”
Jo Boaler的研究团队发现，但凡后来在数学上表现优异的孩子，他们小时候的数感都培养得很好，而相反从小就训练死记硬背答案或者运算规律的孩子，对数学学习会越来越吃力，基本上就是低年级数感不启蒙，高年级数学看造化的节奏。
数感如此重要，该怎样培养呢？
不仅Jo Boaler教授团队持这样的观点，数感培养在整个西方的低幼教育中都很重视，比如大家熟悉的“蒙氏教育”，就是以其出色的数感培养而著名。每个教育派系、每个学校、甚至每位老师、家长，都会在有意无意中用到很多培养孩子数感的方法，总结起来最重要的主要是这4个维度：
理解“数”——
维度1：用具体的实物认识数字（Real things）
维度2：用图形、图画理解数字（Picture）
运用“数”——
维度3：用故事说数字（Story）
维度4：用符号/表达式让数字动起来（Symbols）
这4个维度的培养，是根据孩子的年龄增长循序渐进的。最早从0岁就可以开始，大多数孩子在0到3岁这个阶段，很大程度依赖触觉来认识这个世界，必须要摸到实物，能感觉它的大小，重量。这时就可以用具体的实物让孩子来认识数，积木、小球、数字饼干、手指脚趾......都可以。比如在蒙氏幼儿园的教室里就有很多为培养数感而设计的教具，像下面这些串珠，有多的也有少的，孩子拿在手上能摸到它们的长度不同，也能感觉到轻重的差异。
对于一些理解力比较强的孩子，到了3岁左右甚至可以教他把实物和数字对应起来。当然，用游戏的方式就更好了，掷筛子，掷到多少点，就在对应的数字上搭多少块积木。
而到了3-6岁，视觉在孩子认识世界的过程中占了上风，这时就可以用图形、图画来帮助孩子理解数字了，比如用小圆点，用筛子图，手指图，方块图等等。如果孩子能理解，还可以和时钟的认识结合在一起。到了5岁之后，甚至可以开始简单的数字拆解，同时可以伴随着用故事表达数字，把数字和生活结合在一起，6的含义可以是妈妈买了6个苹果，孩子有6条裙子，鱼缸里有六条鱼……等等。
在这些都理解了之后，就可以再上一个台阶，用符号/表达式让数字动起来，就是我们经常看到的数学算式，比如“3+3=6”。虽然它看起来全是符号，很抽象，但它却是我们用来交流的数学语言，是必须要学会的。而孩子需要练习的是，怎么把它和其他的感观联系在一起，这就引出我今天最想给大家分享的一个工具——
用一个“思考版“，搞定数感的4个维度
Think board (思考板) 是美国课堂常用的培养孩子数感的工具。它把一个矩形分成四个部分，分别对应我们上面介绍的4个维度：实物、故事、图形、符号。老师会让孩子用思考板来理解数字、运用数字。
来看看具体的应用，下面是用思考板来分析“16”这个数字，其中的story（故事）这部分就是为这个数字编一个应用题，这位孩子是这么编的，“宠物店里有27条鱼，这时来了11位小朋友，带走了11条，问宠物店里还剩几条？答案是16。”
这个编故事的能力非常重要，Jo Boaler教授强调，老师给学生出数学题要具有开放性，给学生思考的空间，“在我眼中，那些形成固化思维的封闭性问题就是只要求正确答案的题目。长此以往，孩子就会觉得上数学课是一种表演，就是答对问题。而我们真正想要的是那些能让孩子学到东西的题目。” 比如27-11=？是个封闭性问题，但用什么样的故事能表达16，就是个开放性的问题了，它的答案可以是无穷多种。
这是用思考板来表示乘法运算式，其中的符号部分改成“Show Strategies Used“（用了什么运算策略），就是鼓励孩子从不同的角度去拆解数字。
即使学到了分数，思考板还是大有用场哦。
思考板所包含的几个维度并不新鲜，但它的好处是，提醒孩子从这几个方面去考虑数字以及运算式，它是个整体，不会拉下哪个；同时也能清楚地看到它们之间的联系，这就对应着数感培养最重要的目的——“能灵活处理数字、拆解问题，并从不同的角度看问题”。
挺好用的一个工具，特别推荐给家有正在数学启蒙的孩子们。数学要学很多年，它的应用更是伴随着我们一生，一开始走慢些，稳些，理解深刻些，找到感觉，很重要。
学数学要有感觉，首先对数字就要有感觉！
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